矩阵的秩

定义

k 阶子式

在 m✖️n 的矩阵 A 当中，任取 k 行 k 列（1≤k≤m，1≤k≤n），位于$k^2$ 个元素。
m✖️n 矩阵 A 的 k 阶子式共有$C^k_m·C^k_n$个。
设 A 为 m✖️n 矩阵，当 A=Ｏ时，它的任何子式都为零；当 A≠Ｏ时，它至少有一个 r 阶子式不为零。

秩

设Ａ为 m✖️n 矩阵，如果存在Ａ的 r 阶子式不为零，而任何的 r+1 阶子式皆为零，则称数 r 为矩阵 A 的秩，记作 r (A) 或 R (A)。
零矩阵的秩等于零。
除了计算矩阵，还可以通过变换矩阵（使其出现都为 0 的行），直到矩阵不能在变换了。那么有多少行上的元素不为 0，那 r 就等于多少。

性质

1. 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r (A)≥s；
2. 若 A 中所有的 t 阶子式全为 0，则 r (A)<t；
3. 若 A 为 m✖️n 矩阵，则 0≤r (A)≤min {m,n}；
4. r(A)=r($A^T$)。

当 r (A)=min {m,n} 时，为满阶矩阵，否则为降阶矩阵。

矩阵的秩的计算

当 A 经过一次初等变换变成 B 时，r (A)=r (B)；

何为初等变换？

1. 交换两行；
2. 一行上的数乘以一个非零常数；
3. 把一行的数乘以一个非零常数加到另一行上。

由此，当矩阵变成行阶梯形矩阵时，矩阵的秩就是矩阵的非零行的行数。