点估计

参数估计问题

是指当所研究的总体分布类型已知，但分布中含有一个或多个未知参数时，如何根据样本来估计未知参数的问题。
譬如：一批灯泡寿命的预测，如果将灯泡的寿命$X$ 看作一个总体，根据实际经验知道$X$ 服从正态分布$N(μ,σ2)$，但参数$μ$ 与$σ2$ 是未知的，要想预测灯泡寿命，就必须确定出寿命分布的参数，这就是参数估计问题。
假设所研究的总体类型已知，即其分布函数为$F(x,θ)$，但其包含的参数$θ$ 为未知参数（$θ$ 可以是一个参数，也可以是一个参数向量）。

概念

设$X_1, X_2, …, X_n$是取自总体 X 的一个样本， $x_1, x_2, …, x_n$是相应的一个样本观察值。
$θ$ 是总体分布中的未知参数，为估计未知参数$θ$。
构造一个适当的统计量$\hat \theta(X_1,X_2,⋯,X_n)$，再用其样本观察值$\hat θ(x_1,x_2,⋯,x_n)$ 来估计$θ$ 的值。
$\hat\theta(X_1,X_2,⋯,X_n)$ 为估计量，$\hat θ(x_1,x_2,⋯,x_n)$ 是估计值。
在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为点估计，简称为估计。

例题

设$X$ 表示某种型号的电子元件的寿命（以小时计），它服从指数分布$e(\frac{1}{\theta})$，其概率密度为

$$f(x, \theta) = \begin{cases} 0, &\text {x =< 0}\\ \frac{1}{\theta}e^{-\frac{1}{\theta}x}, &\text {x > 0}\\ \end{cases}$$

其中 θ （ θ > 0）是未知参数，现得样本值为 167, 131, 169, 144, 173, 199, 109, 212, 222, 250，试估计未知参数 θ。
根据指数分布的数字特征可知 θ = E (X)，因此根据点估计的定义，可用样本均值 ¯X 来代替 E (X)，从而得到 θ 的估计量$\hat \theta = \overline x$
$\hat θ=\overline X$。然后用样本值求$θ$ 的估计值，得$\hat θ=\frac{1}{10}(167+131+169+144+173+199+109+ 212+ 222+ 250)=177.6$。

根据指数分布的方差可知$θ^2 = D(X)$，这样我们也可以将样本方差 $S^2$ 作为$θ^2$ 的估计量，即$θ ^2=S^2$，可得$θ$ 的估计量$\hat\theta^2 = S^2$，再采用样本值求$θ$ 的估计值 $\hat θ=s=\sqrt{\frac{1}{9}[(167−177.6)^2+⋯(250−177)^2]}=43.5487$

这可以说明对于一个未知参数的估计量而言，显然不同的样本值得到不同的估计值。
对同一未知参数，其点估计也可以构造不同的统计量而得到，从而得到不同的估计量。

评价估计量好坏的标准 —— 无偏性标准

估计量是随机变量，不同的样本值会得到不同的估计值。
因此，一个基本的标准就是希望估计值在未知参数真值的附近，也就是说，多次估计值的期望是未知参数真值。这就是所谓估计量的无偏性标准。

例题