矩阵的特征值

特征多项式

特征多项式是指$f(\lambda) = |A - λE|$。
依然，还是上面的例子，特征多项式是$(λ-4)(λ+2)$

特征方程

特征方程是指$|A - λE| = 0$
还是上面的例子，特征方程是$λ^2 - 2λ - 8 = 0$

特征值

n 阶方阵 A 的特征值是指数 λ，使得线性方程组$(A - λE)x = 0$ 有非零解。特征值 λ 是方程$|A - λE| = 0$ 的根。
E 是单位矩阵，即$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

例题

我们先来个简单点的 ——2 阶方阵。（例 1）
求矩阵$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$ 的特征值。
解：
$|A - λE| = \begin{vmatrix} 3-λ & 1 \\ 5 & -1-λ \end{vmatrix} = (3-λ)(-1-λ) - 5 = λ^2 - 2λ - 8 = 0$
解得 λ = 4, -2
现在，我们抬升难度 ——3 阶方阵（例 2）
求矩阵$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$的特征值。
解：
$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda + 2 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda - 2 & 0 \\ 4 & -1 & \lambda - 3 \end{vmatrix} = (\lambda + 1)(\lambda - 2)(\lambda - 2) = 0$
解得 λ = -1, 2, 2

总结

由此，我们可以知道，求特征值的步骤是：

1. 求特征方程
2. 解特征方程
3. 得到特征值

特征向量

依旧是上面的（例 1），当 λ = 4 时，对应的特征向量应该满足$(A - 4E)x = 0$，即$\left\{\begin{matrix} -5x_1 + x_2 &= 0 \\ 5x_1 - 5x_2 &= 0 \end{matrix} \right.$，解得$x_1 = x_2$，所以特征向量是$p_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，而$kp_1$ （k 为非零常数）也就是对应于$\lambda_1 = 4$ 的全部特征向量。

当 λ = -2 时，对应的特征向量应该满足$(A + 2E)x = 0$，即$\left\{\begin{matrix} -5x_1 -x_2 &= 0 \\ -5x_1 - x_2 &= 0 \end{matrix} \right.$，解得$x_1 = -x_2$，所以特征向量是$p_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}$，而$kp_2$（k 为非零常数）也就是对应于$\lambda_2 = -2$ 的全部特征向量。

而（例 2），我们知道特征值是 - 1, 2, 2。
当 λ = -1 时，对应的特征向量应该满足$(A + E)x = 0$，可以得到基础解系为$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，所以特征向量是$p_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，而$kp_1$（k 为非零常数）也就是对应于$\lambda_1 = -1$ 的全部特征向量。

当 λ = 2 时，对应的特征向量应该满足$(A - 2E)x = 0$，即$2E-A=\begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，可以得到基础解系为$p_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}, p_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$，所以$\lambda = 2 的全体特征向量为 k_2p_2 + k_3p_3$ （$k_2, k_3$不同时为 0）。

性质

1. n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵$A^T$ 有相同的特征值。
2. 设$A=(a_{ij})$ 是 n 阶矩阵，则$f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^n - \sum_{i=1}^{n}a_{ii}\lambda^{n-1} + …… + (-1)^kS_k\lambda^{n-k} + …… + (-1)^n|A|$，其中$S_k$是 A 的 k 阶主子式。
   k 阶主子式 = $|A_k| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}$
   由上可知，$\lambda_1 + \lambda_2 + …… + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + …… + a_{nn}$
   $\lambda_1\lambda_2……\lambda_n = |A|$，其中，A 的全体特征值的和等于 A 的主对角线元素之和，称为 A 的迹。
   至于迹的用处，看下面例题吧
   设$A = \begin{bmatrix} 5 & -18 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，则有$det(A) = -5 + 18 = 13$，$tr(A) = 5 - 1 = 4$。
   而多项式就是$f(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 13$。