随机事件与概率

确定性现象和不确定性现象

确定性现象

如果在一相同条件下的试验中只会有一种结果出现，这种现象称为确定性现象

不确定性现象

如果在一相同条件下的试验中可能出现多种结果，这种现象称为不确定性现象，也称为随机现象。

例子

抛硬币
掷骰子
抽奖

随机试验

特征

可重复
不确定
可观察

样本空间

随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S 或 Ω。样本空间的元素称为样本点，用 ω 表示。

随机事件

样本空间 S 的子集称为随机事件，简称事件。
通常以大写字母 A、B、C 等表示事件。

只有 A 中的样本点出现时，称事件 A 发生，否则称事件 A 不发生。B、C 等事件类似。

例子

做如下随机试验：从整数 1~9 中随机抽取一个数，则样本空间 $S = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
设事件 A 表示抽到的数不小于 5，即 $A = \{5,6,7,8,9\}$ 。
设事件 B 表示抽到的是偶数，即 $B = \{2,4,6,8\}$ 。
A 同学随机抽取的数是 2，则我们称事件 A 没有发生，事件 B 发生。
B 同学随机抽取的数是 6，则我们称事件 A 和 B 都发生。
C 同学随机抽取的数是 1，则我们称事件 A 和 B 都没有发生。
D 同学随机抽取的数是 9，则我们称事件 A 发生，事件 B 没有发生。

必然事件

一定会发生的事件称为必然事件。也就是这一事件包含所有的样本点。

不可能事件

一定不会发生的事件称为不可能事件。也就是这一事件不包含任何样本点，为空集。

包含关系与相等关系

包含关系

如果属于 A 的样本点必属于 B，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 被包含于事件 B，记为 A⊂B，或 B⊃A。
事件 A 发生必然导致事件 B 发生。

相等关系

如果 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A=B。
事件 A 发生等价于事件 B 发生。

和（并）运算

由属于事件 A 或属于事件 B 的样本点组成的新事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记为 A⋃B 或 A+B。
事件 A 发生或事件 B 发生，即事件 A 与事件 B 中至少有一事件发生。

积（交）运算

由属于事件 A 且属于事件 B 的样本点组成的新事件称为事件 A 与事件 B 的积事件，记为 A⋂B 或 AB。
事件 A 发生且事件 B 发生，即事件 A 与事件 B 同时发生。

差运算

由属于事件 A 且不属于事件 B 的样本点组成的新事件称为事件 A 与事件 B 的差事件，记为 A-B。
事件 A 发生且事件 B 不发生。

对立事件、互不相容（互斥事件）、独立事件

感觉解释这样的东西，只能用人际交往的方式来解释。

对立事件

事件 A 的对立事件记为 $\overline{A}$ ，即 $\overline{A} = S - A$ 。
一句话，我们两没办法处了，“你出现” 的事件发生，“我出现” 的事件就不发生，反之亦然。（我怎么写也是刚好气头上想出来的，别往心里去）

互不相容事件（互斥事件）

两者之间没有交集，即 $A⋂B = \emptyset$ 。
这像不像你跟一些人的思想，无论怎么谈，都谈不到一块去。

独立事件

A 事件的发生不影响 B 事件的发生，B 事件的发生不影响 A 事件的发生。
符合 $P(AB) = P(A)P(B)$ 的事件称为独立事件。
注意： $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$ 也成立。

事件的运算律

交换律： $A⋃B = B⋃A$ ， $AB = BA$
结合律： $(A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C)$ ， $(AB)C = A(BC)$
分配律： $A(B⋃C) = AB⋃AC$ ， $A⋃(BC) = (A⋃B)(A⋃C)$
对偶律： $\overline{A⋃B} = \overline{A}⋂\overline{B}$ ， $\overline{AB} = \overline{A}⋃\overline{B}$