简谐运动的合成

同方向同频率合成

相位差为$2k\pi(k=0, \plusmn1, \plusmn2, \plusmn3, ……)$

我们可以这样计算振幅 A：

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi} \\ &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} \\ &= \sqrt{(A_1 + A_2)^2} \\ &= A_1 + A_2 \\ \end{aligned}$$

相位差为$(2k+1)\pi(k=0, \plusmn1, \plusmn2, \plusmn3, ……)$

我们可以这样计算振幅 A：

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi} \\ &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2} \\ &= \sqrt{(A_1 - A_2)^2} \\ &= | A_1 - A_2 | \\ \end{aligned}$$

当相位差取任意值（不是$2k\pi$ 或$(2k+1)\pi$）时，合成振动的振幅在$A_1+A_2$和$|A_1 - A_2|$之间

合振幅的计算为：

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\varphi} \\ \end{aligned}$$

其中$\varphi$ 是两个振动的相位差。

关于 φ 的计算

相位差为$2k\pi(k=0, \plusmn1, \plusmn2, \plusmn3, ……)$

由于是同相，所以就是$x = x_1 + x_2$。
由此，我们可以得到：

$$\begin{aligned} x &= A_1\cos(\omega t + \varphi_1) + A_2\cos(\omega t + \varphi_2) \\ &= A_1\cos(\omega t)\cos(\varphi_1) - A_1\sin(\omega t)\sin(\varphi_1) + A_2\cos(\omega t)\cos(\varphi_2) - A_2\sin(\omega t)\sin(\varphi_2) \\ &= [A_1\cos(\varphi_1) + A_2\cos(\varphi_2)]\cos(\omega t) - [A_1\sin(\varphi_1) + A_2\sin(\varphi_2)]\sin(\omega t) \\ \end{aligned}$$