简谐运动的能量

动能

设在某一时刻，物体速度为$v$, 则动能为

$$\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + φ) \\ \end{aligned}$$

势能

设在某一时刻，物体位移为$x$, 则势能为

$$\begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2}kx^2 \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + φ) \\ \end{aligned}$$

总能量

$$\begin{aligned} E &= E_k + E_p \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + φ) + \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + φ) \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2(\sin^2(\omega t + φ) + \cos^2(\omega t + φ)) \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2 \\ &= \frac{1}{2}kA^2 \\ \end{aligned}$$

由上可知，总能量 E 与振幅 A 及固有角频率的二次方成正比，所以基本上可以认为总能量是一个常数。

几个特殊的点

最大速度：$E = E_k = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$
最大势能：$E = E_p = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$