同方向同频率合成

相位差为$2k\pi(k=0, \plusmn1, \plusmn2, \plusmn3, ……)$

我们可以这样计算振幅 A：

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi} \\ &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} \\ &= \sqrt{(A_1 + A_2)^2} \\ &= A_1 + A_2 \\ \end{aligned}$$

相位差为$(2k+1)\pi(k=0, \plusmn1, \plusmn2, \plusmn3, ……)$

我们可以这样计算振幅 A：

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi} \\ &= \sqrt{A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2} \\ &= \sqrt{(A_1 - A_2)^2} \\ &= | A_1 - A_2 | \\ \end{aligned}$$

当相位差取任意值（不是$2k\pi$ 或$(2k+1)\pi$）时，合成振动的振幅在$A_1+A_2$和$|A_1 - A_2|$之间

合振幅的计算为：

动能

设在某一时刻，物体速度为$v$, 则动能为

$$\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + φ) \\ \end{aligned}$$

势能

设在某一时刻，物体位移为$x$, 则势能为

$$\begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2}kx^2 \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + φ) \\ \end{aligned}$$

总能量

$$\begin{aligned} E &= E_k + E_p \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + φ) + \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + φ) \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2(\sin^2(\omega t + φ) + \cos^2(\omega t + φ)) \\ &= \frac{1}{2}m\omega^2A^2 \\ &= \frac{1}{2}kA^2 \\ \end{aligned}$$

由上可知，总能量 E 与振幅 A 及固有角频率的二次方成正比，所以基本上可以认为总能量是一个常数。

一些位置的相位

振幅 A

获取振幅的办法

1. 可以通过图像的最大值或最小值看出，$A = |x_{max}| = |x_{min}|$。
2. 可以通过初始位移和初始速度求出，$A = \sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{ω^2}}$。

振幅由初始条件决定，即初始位移和初始速度。

周期与频率（$T$ 和$f$）

$$T = \frac{2π}{\omega} = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}\\ \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \\ \omega = 2\pi \nu$$

周期和频率是由振动系统的特性决定的。

相位 φ

初相位

弹簧振子

一端固定，一端连接物体，在平衡位置 O 点反复运动，如下图所示

物理情景：将物块拉到 A 位置上，然后撤掉拉力，物体发生运动。
当物体到达 O 点时，物体加速度为 0，因为弹力为 0；
当物体到达 A 点的时候，速度减为 0。

在这里我们知道，弹力的计算公式是 $F = -kx$。
由此，我们可以由加速度公式 $a=\frac{F}{m}$ 推出 $a=-\frac{kx}{m}$。
由于 $\omega^2 = \frac{k}{m}$，所以，$a = -\omega^2x$。
而微分方程就是在这基础之上将$a$ 变成$\frac{d^2x}{dt^2}$。

这里我们要引出一个公式，就是运动方程：$x = A\cos(wt+\phi)$
然后，我们结合物理学上册的运动描述 $v = \frac{dx}{dt}$，$a = \frac{dv}{dt}$，我们可以知道，$v = - \omega A\sin(wt+\phi)$，$a = \omega^2A\cos(wt+\phi)$